Fracciones equivalentes en mosaicos y figuras [00:00:00.000] El mosaico de la plaza Una plaza tiene un mosaico hexagonal. Tres piezas triangulares están pintadas. Alguien propone cortarlas en piezas más pequeñas y dice que ahora habrá más superficie pintada. ¿Será verdad? Vamos a diseñar mosaicos y jardines para comprobar qué cambia y qué se conserva. Prepara las tres hojas y dos colores. [00:00:29.667] Qué significa partir bien En estos retos, una fracción describe el área pintada respecto al área de la figura completa. Para contar piezas y usar ese conteo como fracción, todas las piezas deben tener la misma área. Pueden tener formas diferentes, pero deben ocupar la misma superficie. No basta que el dibujo tenga varias piezas. [00:00:57.250] El hexágono regular Este hexágono es regular: tiene seis lados iguales y seis ángulos iguales. Unimos su centro con los seis vértices. Se forman seis triángulos iguales, cada uno con la misma área. Por eso cada triángulo es un sexto del hexágono. No podemos suponer que esto ocurre en cualquier hexágono irregular. [00:01:25.417] Tres sextos son una mitad Pintamos tres triángulos vecinos de los seis. La línea que pasa por el centro deja tres a cada lado. La región pintada ocupa la mitad del hexágono. Tres sextos y un medio describen la misma superficie. También podemos dividir tres y seis entre tres para escribir un medio. [00:01:51.542] De seis partes a doce En cada triángulo marcamos el punto medio de su lado exterior y lo unimos al centro. Esa línea parte el triángulo en dos de igual área: tienen bases iguales y la misma altura. Lo hacemos en los seis triángulos. Ahora hay doce partes iguales y seis pintadas. Tres sextos equivalen a seis doceavos. [00:02:19.625] Tu turno · 1A Busca la hoja 1, actividad A. En el hexágono, colorea tres de los seis triángulos. Divide cada triángulo en dos de igual área. Cuenta todas las partes nuevas y las pintadas. No mires la solución todavía. Colorea, escribe y explica cómo lo sabes. El video hará una pausa. Continúa cuando hayas terminado. [00:03:07.875] Comprobamos · 1A Hay doce triángulos pequeños y seis pintados. Cada triángulo original se dividió en dos, también los que estaban sin pintar. Multiplicamos tres y seis por dos. Seis doceavos siguen siendo una mitad del mismo hexágono. [00:03:30.042] Un rombo dentro del mosaico Dos triángulos vecinos forman un rombo. Todo el hexágono puede organizarse en tres rombos iguales. El rombo pintado ocupa dos de los seis triángulos, o uno de los tres rombos. Dos sextos equivalen a un tercio. Agrupamos las piezas sin mover el límite de la zona pintada. [00:03:56.375] Tres nombres para la misma zona Si pintamos cuatro de los seis triángulos, tenemos cuatro sextos. Al agrupar de dos en dos, son dos de los tres rombos: dos tercios. Si después partimos cada triángulo en dos, tendremos ocho partes pintadas de doce. Cuatro sextos, dos tercios y ocho doceavos valen lo mismo. [00:04:23.708] Tu turno · 1B Busca la hoja 1, actividad B. Colorea cuatro triángulos vecinos del hexágono. Escribe la fracción en sextos, en tercios y en doceavos. No mires la solución todavía. Colorea, escribe y explica cómo lo sabes. El video hará una pausa. Continúa cuando hayas terminado. [00:05:07.417] Comprobamos · 1B Cuatro sextos forman dos rombos de los tres del hexágono, es decir, dos tercios. Al dividir cada triángulo en dos, quedan ocho partes pintadas entre doce. Son tres nombres para la misma zona. [00:05:27.250] Veinticuatro piezas iguales Podemos dividir cada triángulo original en cuatro triángulos de igual área. Unimos los puntos medios de sus tres lados. Los cuatro triángulos pequeños son iguales entre sí. Como había seis triángulos, ahora hay veinticuatro. Si pintamos un triángulo original, quedan cuatro pequeños pintados: un sexto equivale a cuatro veinticuatroavos. [00:05:57.792] Tu turno · 2A Busca la hoja 2, actividad A. Colorea dos triángulos del hexágono. Divide cada uno de los seis triángulos en cuatro partes iguales. Completa la equivalencia con denominador veinticuatro. No mires la solución todavía. Colorea, escribe y explica cómo lo sabes. El video hará una pausa. Continúa cuando hayas terminado. [00:06:45.125] Comprobamos · 2A Seis por cuatro son veinticuatro piezas en total. Dos por cuatro son ocho piezas pintadas. Ocho veinticuatroavos equivalen a dos sextos y a un tercio. Dividimos también los triángulos blancos: el denominador cuenta todo el entero. [00:07:07.833] Una bandera triangular La bandera tiene forma de triángulo. Unimos los puntos medios de sus tres lados. Aparecen cuatro triángulos de igual área, aunque uno se vea invertido. Pintamos uno: un cuarto. Su orientación no cambia su área. Si partimos cada pequeño triángulo en dos de igual área, aparecen ocho partes y dos están pintadas. [00:07:38.750] La forma no decide la fracción Un triángulo que apunta hacia abajo no vale menos que uno que apunta hacia arriba. Lo que cuenta es su área respecto a la bandera completa. Para partir un triángulo en dos de igual área, podemos unir un vértice con el punto medio del lado opuesto. Las bases son iguales y la altura es la misma. [00:08:04.375] Tu turno · 2B Busca la hoja 2, actividad B. Colorea tres de los cuatro triángulos de la bandera. Divide cada triángulo en dos de igual área. Completa la fracción en octavos. No mires la solución todavía. Colorea, escribe y explica cómo lo sabes. El video hará una pausa. Continúa cuando hayas terminado. [00:08:49.917] Comprobamos · 2B Tres cuartos equivalen a seis octavos. Cada triángulo pintado se convierte en dos piezas: tres por dos es seis. El total pasa de cuatro a ocho. No es necesario que todas las puntas miren hacia el mismo lugar. [00:09:11.583] El jardín con forma de L Este jardín está formado por tres cuadrados iguales. La esquina vacía no pertenece al jardín. Nuestro entero es solo la figura en forma de ele. Si pintamos un cuadrado, pintamos un tercio del jardín. No es un cuarto: el espacio vacío no se cuenta como parte del entero. [00:09:38.208] De cuadrados a triángulos Trazamos una diagonal en cada uno de los tres cuadrados. Cada diagonal forma dos triángulos de igual área. En todo el jardín hay seis triángulos iguales. El cuadrado pintado ahora contiene dos triángulos pintados. Un tercio equivale a dos sextos. Cambió la forma de las piezas, pero no su superficie total. [00:10:07.792] Tu turno · 3A Busca la hoja 3, actividad A. En la figura en L, colorea dos de los tres cuadrados. Traza una diagonal en cada cuadrado. Escribe la fracción pintada usando cuadrados y usando triángulos. No mires la solución todavía. Colorea, escribe y explica cómo lo sabes. El video hará una pausa. Continúa cuando hayas terminado. [00:10:57.292] Comprobamos · 3A El jardín tiene tres cuadrados o seis triángulos de igual área. Pintamos dos cuadrados, que contienen cuatro triángulos. Dos tercios equivalen a cuatro sextos. La esquina que falta sigue sin formar parte del jardín. [00:11:19.042] Una ventana con forma de trapecio Esta ventana se construye con tres triángulos equiláteros iguales. Uno está invertido entre los otros dos. Como tienen la misma área, cada uno representa un tercio de la ventana. Pintar dos de ellos cubre dos tercios. No estamos afirmando que cualquier trapecio se divida así: este se construyó con esas tres piezas iguales. [00:11:49.167] Dividimos la ventana Partimos cada uno de los tres triángulos en dos de igual área. Toda la ventana queda dividida en seis piezas. Las dos piezas originales pintadas se convierten en cuatro pequeñas. Dos tercios equivalen a cuatro sextos. Aunque la figura exterior sea un trapecio, la idea de equivalencia es exactamente la misma. [00:12:17.917] Un dibujo que puede engañar Mira este rectángulo. Lo separaron en tres piezas, pero una es mucho más grande que las otras. Pintar una pieza no permite decir un tercio. La pieza grande ocupa la mitad del rectángulo. Si trazamos una división adicional, vemos dos cuartos pintados de cuatro partes iguales. Para contar fracciones por piezas, primero comprueba las áreas. [00:12:50.250] Tu turno · 3B Busca la hoja 3, actividad B. El rectángulo tiene una mitad grande y dos cuartos pequeños. Está pintada la mitad grande. ¿Es un tercio porque se pintó una de tres piezas? Dibuja una división que permita contar partes iguales. No mires la solución todavía. Colorea, escribe y explica cómo lo sabes. El video hará una pausa. Continúa cuando hayas terminado. [00:13:42.958] Comprobamos · 3B No es un tercio porque las tres piezas no tienen la misma área. La región pintada es una mitad. Dividimos esa mitad en dos cuartos y obtenemos cuatro piezas iguales en todo el rectángulo. Dos de las cuatro están pintadas. Una mitad equivale a dos cuartos. [00:14:08.083] Tu regla de diseñador Antes de escribir una fracción, señala el entero. Comprueba que las partes que vas a contar tienen igual área. Después observa si la zona pintada se conserva al dividir o agrupar. El número de piezas puede cambiar muchísimo sin que cambie la superficie pintada. Ya puedes explicar equivalencias en un mosaico, una bandera o un jardín.